Leyes del Álgebra preposicional

LEYES DEL ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES

Leyes del Álgebra de Proposiciones

Las leyes de la álgebra de proposiciones son equivalencias lógicas que se pueden demostrar con el desarrollo de las tablas de verdad del bicondicional. Las leyes del álgebra de proposiciones son las siguientes:

EQUIVALENCIAS  TAUTOLÓGICAS:

1) Doble  Negación.- (DN) “Si negamos una proposición dos veces, se concluye en la proposición inicial”.

Su simbolización  será                   ~ ~ p

     Ejemplo: No es verdad que no somos  invitados

     Equivale: Somos  invitados

2) Conmutación.- (Conm.) Si los conjuntivos, disyuntivos y bicondicionales

     permutan  sus  respectivos  componentes, sus equivalentes significan lo mismo.

     a)  (p Ùq) ↔  (q  Ù p)

          Ejemplo: La pizarra es negra y la tiza blanca

          Equivale: La  tiza es blanca y la pizarra  es  negra

     b)  (p  v  q)  ↔ (q V p)

          Ejemplo: Estas  preocupado o estas enfermo

          Equivale: Estas  enfermo  o estás preocupado

     c) (p ↔ q)  ↔  (q ↔ p)

          Ejemplo: Anibal viajará  a la  Argentina si y sólo si  obtiene su visa

          Equivale: Anibal obtiene su visa  si y sólo si viajará  a  la  Argentina           

            

 3.  Idempotencia.- (Idem) Las variables redundantes en una cadena de  conjuntivos

      o dsyuntivos se eliminan.

      a)  (p Ù p)  ↔  p

           Ejemplo: Mariela estudia. Y Mariela trabaja y estudia

           Equivale: Mariela estudia y trabaja

      b)  (p v p)  ↔  p

           Ejemplo: Manuel  estudia o Manuel  trabaja o estudia

           Equivale: Manuel  estudia  o trabaja

 4.  De Morgan.- (D.M.) Se niegan  las proposiciones conjuntivas o disyuntivas y las

      cambiamos.  La conjunción  por la disyunción  o la disyunción por la conjunción,

      negando  cada uno de los componentes.

      a)  (p Ù q)   ↔   ~(~ p v  ~q)

           Ejemplo: En invierno  nieva y hace frio

           Equivale: No es el caso que  en invierno no nieva  o no haga  frio

      b)  (p V q)   ↔  ~(~p  Ù  ~q)

           Ejemplo: Hace frío o helada

           Equivale: No es el caso  que no haga  frio y no haga  helada

      c)   ~(p Ù q)  ↔  ~p  V  ~ q

           Ejemplo: No es el caso que Estefano estudie  y juege

           Equivale: Estefano  no estudia  o no juega

      d)  ~ (p  Ú  q)  ↔  (~p Ù  ~ q)

           Ejemplo: No es el caso que viajes al sur o te  quedes  en el Rimac

           Equivale:  O no viajes al sur y no te quedes  en  el  Rimac 

5.  Las  Definiciones  del Condicional.- (Def. Cond.)

     a)  Es la definición del esquema condicional  por medio del  disyuntivo. Se niega el antecedente  (p) y el condicional (→) cambia  por el disyuntivo (V)

                                        (p  → q)  ↔ (~p  v  q)

          Ejemplo: Si Kant  es un filósofo entonces es idealista

          Equivale:  Kant  no es un filósofo o es un idealista

     b)  Es la definición del esquema condicional por medio del conjuntivo. Se niega

          toda la expresión y el esquema condicional  se cambia  por el conjuntivo a la

          vez que se niega  el consecuente.                              

                                  (p → q)  ↔  ~(p Ù ~q)

     

               Ejemplo: Si Rosa gana el concurso de pintura entonces viajará  a Europa

          Equivale: No es posible que Rosa gane  el concurso de pintura y no viaje a

                         Europa.

6.  Las  Definiciones del Bicondicional  (Def. Bicond.)

     a)  Indica  que un esquema  bicondicional puede transformarse  en dos condicionales   donde uno  de los miembros  implica a otro y viceversa.

                                (p  ↔ q)  ↔ (p → q)  Ù  (q → p)

            Ejemplo: Una figura geométrica tiene tres ángulos si y sólo si  es un triángulo

            Equivale: Si una figura geométrica  tiene tres ángulos entonces es un triángulo  y si es un triángulo entonces es una figura geométrica  que tiene tres  ángulos.

     b)   Indica que un esquema bicondicional puede transformarse  en una  disyunción 

           de conjunciones afirmando los dos componentes conjuntamente  o negando los dos componentes  también   conjuntamente.

                                (p  ↔ q)  ↔  (p Ù q)  Ú  (~p  Ù ~q)

           Ejemplo: Un número  es positivo si  y sólo si  es mayor que cero.

            Equivale: Un número  es  positivo y es mayor  que cero, o un número no es positivo  y no es mayor que cero.