- RAZÓN Y PROPORCIÓN NUMÉRICA
Razón entre dos números
Razón entre
dos números a y b es el cociente a/b
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Por ejemplo la razón entre 10 y 2 es 5, ya que 10/2 =5
Y la razón entre los números 0.15 y 0.3 es 0.15/0.3 = 1/2
Proporción numérica
Los
números a, b, c y d forman una proporción si la razón entre a y b es
la misma que entre cy d.
Es
decir a/b = c/d
Se lee
“a es a b como c es a d”
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Los números 2, 5 y 8, 20 forman una proporción, ya que la razón entre
2 y 5 es la misma que la razón entre 8 y 20.
Es decir 2/5 = 8/20
En la proporción a/b = c/d hay cuatro términos; a y d se
llaman extremos, c y b se
llaman medios.
La propiedad fundamental de las proporciones es: en toda proporción, el producto de los
extremos es igual al de los medios.
Así en la proporción anterior a/5 = 8/20 se cumple que el
producto de los extremos nos da 2x20=40 y el producto de los medios nos da
5x8=40
2.MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
Si
dos magnitudes son tales que a doble,
triple... cantidad de la primera corresponde doble, triple... de la segunda,
entonces se dice que esas magnitudes son directamente proporcionales.
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Para pasar de la 2ª fila a la 1ª dividimos por 20
Observa que 1/20 = 1/40 = 3/60
Las magnitudes número de sacos y peso en kg son directamente proporcionales.La constante de
proporcionalidad para pasar de número de sacos a kg es 20.
- REGLA DE TRES
SIMPLE DIRECTA
Ejemplo 1
En 50 litros de agua de mar hay 1300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de
agua de mar contendrán 5200 gramos de sal?
Como en doble cantidad de agua de mar habrá doble cantidad de sal; en
triple, triple, etc. Las magnitudes cantidad de agua y cantidad
de sal son directamente
proporcionales.
Si representamos por x el número de litros que contendrá 5200 gramos
de sal, y formamos la siguiente tabla:
Litros
de agua
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50
|
x
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Gramos
de sal
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1300
|
5200
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Se verifica la proporción: 50/ 1300 = X/ 5200Y como en toda proporción el producto de medios es igual al producto
de extremos, resulta:50.5200=1300.x
Es decir x= 50.5200/1300 = 200
En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo:
Esta
forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el
nombre deregla de tres simple directa.
Ejemplo 2  Un coche gasta 5 litros de gasolina cada 100 km. Si quedan en el
depósito 6 litros, ¿cuántos kilómetros podrá recorrer el coche?Luego con 6 litros el coche recorrerá 120 km
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- MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES
- Si dos magnitudes son tales que a doble, triple...cantidad de la primera corresponde la mitad, la tercera parte... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son inversamente proporcionales.
Formamos la tabla:
Hombres
|
3
|
6
|
9
|
...
|
18
|
Días
|
24
|
12
|
8
|
...
|
?
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Vemos que los productos 3.24=6.12=9.8=72
Por tanto 18.x=72
O sea que los 18 hombres tardarán 4 días en hacer el trabajo
- REGLA DE TRES
SIMPLE INVERSA
Ejemplo 1
Un ganadero tiene pienso suficiente para alimentar 220 vacas durante
45 días. ¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de pienso a 450
vacas?
Vemos que con el mismo pienso, si el número de vacas se duplica,
tendrá para la mitad de días; a triple número de vacas, tercera parte de días,
etc. Por tanto son magnitudes inversamente
proporcionales.
x= número de días para el que tendrán comida las 450 vacas
Nº de
vacas
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220
|
450
|
Nº de
días
|
45
|
x
|
Se cumple que: 220.45=450.x, de donde 
En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo:
Luego 450 vacas podrán comer 22 días
Esta
forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el
nombre deregla de tres simple inversa.
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Ejemplo 2
Para envasar cierta cantidad de vino se necesitan 8 toneles de 200
litros de capacidad cada uno. Queremos envasar la misma cantidad de vino
empleando 32 toneles. ¿Cuál deberá ser la capacidad de esos toneles?
Pues la cantidad de vino=8.200=32.x
Debemos tener 32 toneles de 50 litros de capacidad para poder envasar
la misma cantidad de vino.
- PROPORCIONALIDAD COMPUESTA DE
MAGNITUDES
Regla de tres compuesta. Método de reducción a la unidad
Ejemplo 1: Proporcionalidad directa
Cuatro chicos en una acampada de 10 días han gastado en comer 25000
ptas. En las mismas condiciones ¿cuánto gastarán en comer 6 chicos durante una
acampada de 15 días?
- Doble número de
chicos acampados el mismo número
de días gastarán el doble. Luego las magnitudes número de chicos y
dinero gastado son directamente
proporcionales.
- El mismo número de chicos, si acampan el
doble número de días gastarán el doble. Luego las magnitudes número de días de
acampada y dinero gastado son directamente
proporcionales.
Hemos relacionado las dos magnitudes conocidas, nº de chicos y nº de
días con la cantidad desconocida, gasto.
Ejemplo 2: Proporcionalidad inversa
15 obreros trabajando 6 horas diarias, tardan 30 días en realizar un
trabajo. ¿Cuántos días tardarán en hacer el mismo trabajo 10 obreros, empleando
8 horas diarias?
- Doble número de
obreros trabajando el mismo número de días trabajarán la mitad de horas al día
para realizar el trabajo. Por tanto el número de obreros y el número de días de
trabajo son inversamente proporcionales.
- Doble número de
horas diarias de trabajo el mismo número de obreros tardarán la mitad de días
en realizar el trabajo. Luego el número de horas diarias de trabajo y el número
de días de trabajo son inversamente proporcionales.
Hemos relacionado las dos magnitudes conocidas, nº de obreros y nº de
horas diarias de trabajo, con la cantidad desconocida, nº de días de trabajo.
